台大化工所 |工程數學攻略 | 98–114歷年考試題型解析＋特殊題型統整，考前必看！-TKB大碩研究所-TKB購課網

臺大化工所工程數學歷年題型分析（98–114學年度）

每年準備臺大化工所的同學，應該上網海巡相關知識時都會感覺到：工程數學寫得穩，錄取機率才穩。

這科不但範圍超廣，

從常微分、PDE 到傅立葉分析、矩陣解法全都可能考，

還會偶爾來幾題「冷門但高分」的特殊題型，讓人措手不及。

如果你正在備考，卻還搞不清楚哪些是必考題型、哪些又是要特別小心的變化題，那這篇整理絕對值得一看。

這篇文章幫你把台大化工所的工程數學考題從98到114學年度（2009–2025）做了完整統整，

包含：

每年都考的八大重點題型
偶爾出現但不好對付的八種特殊題型

不管你是第一次報考，還是準備重考，這篇都能幫你抓住考前最關鍵的方向，考場上不再只靠運氣搶分，而是有備而來。

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工程數學考什麼？八大常見題型完整統整

臺大化工所｜工程數學｜歷年常見題型（98–114）
題型類別	題目出現年度	重點內容
常微分方程 (ODE)	98–114	一、二階線性 ODE （恆係數、變數分離、Euler–Cauchy） Newton 冷卻 Tank 模型
Laplace 變換	98–114	Laplace 轉換／反轉換 Heaviside 分段函數結合 ODE 初值問題
偏微分方程 (PDE)	98–114	分離變數法（熱方程、波動方程） Dirichlet／Neumann 邊界條件穩態問題
向量分析與場論	98–114	Green／Gauss／Stokes 定理保守場檢驗與勢函數曲線／曲面積分
工程應用模型	98–114	Newton 冷卻模型混合槽模型 PDE 強迫項與非均勻邊界
線性代數／矩陣分析	99–107、109–114	特徵值／特徵向量、正交對角化系統 ODE 解耦矩陣指數 Aⁿ
級數解與特殊函數	98、100–104 106、109、114	Frobenius 幂級數展開 Bessel、Legendre 函數級數收斂半徑
傅立葉分析與級數	98、100、101、 103、104、106、 109、114	傅立葉級數（正弦、餘弦、複數形式）傅立葉積分收斂區間

針對八大常見題型建議

常微分方程（ODE）

ODE題型每年都考，穩拿分數靠它。除了「通解＋特解」基本操作外，記得要會分辨齊次 vs 非齊次題型處理方式，再補上像是 Euler–Cauchy 方程這種變數係數的題目，建議獨立練個幾題。應用面也不能只算不建模！實戰流程是：建模型 → 列出物料／能量平衡 → 解微分方程，像 Newton 冷卻或 Tank 模型都會這樣出，這三步要能自己寫出來才算真正會。

Laplace 變換

這邊不只要背 Laplace 對表（像 tⁿ、e⁻ᵃᵗsinωt、cosωt、Heaviside 等），還要懂怎麼用，

特別是位移定理、微分定理，常會搭配 δ(t) 或分段強迫項出現。

實際解題流程：把 ODE 做 Laplace 轉換 → 解代數式 → 反變換變回時域常搭配的應用像是 Tank 初值問題、機械震動，練題時最好配著初值條件一起解。

偏微分方程（PDE）

PDE 一樣要靠「分離變數法」吃分，但不是只背公式，

要掌握整套流程：分離變數 → 解特徵值問題 → 正交展開 → 計常數

練熱傳導、波動方程時，注意 Dirichlet／Neumann 的邊界條件會影響特徵函數形式。

還有，很多人只練「非穩態」題型，記得也要熟「穩態解」怎麼解（其實比較簡單但也會考）。

向量分析與場論

Green、Gauss、Stokes 三大定理要會的不只是背公式，還要知道「什麼情況用哪個」。

像區域要封閉、場要連續光滑這些條件，在題目裡可能會暗藏陷阱。

解場論題目流程可以這樣走：驗證場是不是保守 → 找勢函數 → 線積分恆等於零，這個流程熟了就很好拿分！

工程應用模型

這部分最常跟 ODE 和 PDE 搭配出題，像是：

單槽模型 → 多槽系統
簡單熱傳 → 非均勻邊界／強迫項加熱源模型

建議把「ODE 模型 → Laplace 解」、「PDE 模型 → 分離變數 or 綠函數解法」都練熟，

搭配強迫項（像 Q(t)、熱源、震動）會更實用。記住：這種題目不是死算，而是要你能根據物理情境寫出對應方程。

線性代數／矩陣分析

除了基本的特徵值／對角化，也要會處理不可對角化情況，Jordan 正規型就是備案。

如果題目給的是 A’t = A x + f(t)，那你要會把矩陣指數 e^(At) 算出來來解。

延伸技巧像是複數特徵根的處理、Cayley–Hamilton 定理應用，能加快計算速度。

這類題目很多時候也會跟系統 ODE 或 Laplace 解法做結合出題。

線性代數／矩陣分析

除了基本的特徵值／對角化，也要會處理不可對角化情況，Jordan 正規型就是備案。

如果題目給的是 A’t = A x + f(t)，那你要會把矩陣指數 e^(At) 算出來來解。

延伸技巧像是複數特徵根的處理、Cayley–Hamilton 定理應用，能加快計算速度。

這類題目很多時候也會跟系統 ODE 或 Laplace 解法做結合出題。

級數解與特殊函數

考這邊通常是 Frobenius 方法解變係數 ODE，要會整套流程：列出指標方程 → 判斷根差類型（整數、重根、非整數）→ 選展開方式

另外，像 Bessel、Legendre 函數常出「正交性」、「遞迴關係」或「特殊值」

（例如 J₀′(x) = −J₁(x)）的題目，建議整理出表格來背，效果最好。

傅立葉分析與級數

傅立葉級數的正弦、餘弦展開是基本，接著要延伸到複數形式 → 傅立葉積分 → 頻譜分析／Plancherel 定理這一套邏輯。

額外提醒：要特別練「邊界不連續函數 → Gibbs 現象 → 收斂性討論」這種比較進階的題型，有出現過好幾次。

熟了之後，這邊其實是拿分穩定區！

特殊題型出沒！114以前出過的高階考題在這

臺大化工所工程數學｜特殊題型總覽（98–114）
題型類別	題型說明	出題學年度
卷積與積分方程	Fredholm / Volterra 積分方程求解 Laplace 變換結合卷積定理處理延遲函數初值問題	111
Sturm–Liouville 特徵值問題	求解 y″ + λw(x)y = 0 特徵值 λ 與正交特徵函數邊界條件應用	99
多維邊值問題與矩形域分離變數	二維矩形域 PDE（Laplace／熱傳）分離變數，雙向邊界條件與雙重正交展開	109
複數傅立葉變換／逆變換	非週期函數之傅立葉積分與逆變換，Heaviside 調製後譜表示與收斂區間分析	110、111
特殊函數正交性驗證	驗證 Bessel、Legendre 等級數解正交關係，並進行正交化	104、114
矩陣指數與系統微分方程	利用對角化或 Jordan 分解求解系統 x′ = Ax + f(t)，並計算矩陣指數 e^At	100、106
變係數 ODE 的冪級數解	Frobenius 方法求解變係數／非自伴 ODE，識別展開形式對應特殊函數（Airy、Hermite 等）	100、114
非齊次 PDE 強迫項處理	PDE 中含時間／空間強迫項或非齊性邊界（恆定熱源、強迫振動），採用 Laplace 變換或綠函數方法	103、174

從98到114，命題重點與難度如何演變？

從計算走向理論推導
出題年	常見題型	特殊題型	證明／推導題
98–104	85–90%	10–15%	10–15%
105–110	75–80%	15–20%	15–20%
111–114	70–75%	20–25%	25–30%

考前這樣準備最有效！看看學長姐怎麼備考(學生心得)

一這是很多人都會放掉的科目，但我覺得千萬不能放，

(但也沒有特別簡單，還是需要上課＋練考古去抓考向)，
而且今年台科輸送考超簡單，沒讀工數真的很吃虧～
不同於身邊的同學，我是上雲端張衡老師的工數課程，老師上課很仔細，
尤其是傅立葉的部分老師會有口訣上一次就很有記憶點，還可以...閱讀更多

引用來自 114年考取台大化工所 | 楊O妘

一定要往80至90去準備，

雖然在近年來臺大化工的工數考的範圍跟體型比較死，
但如果要考高分，其實大部分的章節都要很熟練，
除了矩陣可以只要會算對角化跟解聯立，複變可以放棄，除此之外其他章節都必須很精熟，
千萬不能有這個章節好久沒考了就放棄逃避的心態，舉今年的例子，
級數解上一次考的時候是106年出現過看似很久遠，好像再也沒有出現過，
然後今年就考了15分，如果這個15分沒拿到，
其實要在專業科目上拿到多15分其實是真的蠻困難的。

引用來自114年考取台大化工所 | 吳O宇

大二時，學校的工程數學老師講的很玄，大部分都是用背的，對於準備研究所這種大範圍考試沒有一點幫助。
歐老師的教學方式讓工程數學變得淺顯易懂，
老師不會要求學生背一堆有的沒的公式，而是解釋清楚來龍去脈。
上課也不太需要抄筆記，很多內容都在講義裡。
另外老師還會額外拍影片講解我們難懂的題目以及觀念，讓我們隨時都可以複習工數。
最讓我驚嘆的是老師所建立的群組...

引用來自 114年考取台大化工所 | 黃O軒