線性代數主要探討線性空間與線性映射的相關性質,是一門重要的基礎數學,各大學理、工、商學系大都將之列為必修,同時也是多所研究所與公職考試需準備的考科。本課程適用於報考資工所、數學所、統計所、通訊或電機電信所、公職的同學。
雖然各校考題出處有部分會來自傳統聖經本,網路上也有不少介紹線性代數的網站,但因為各家介紹的重點並不全然相同,有些強調證明、有些強調應用、有些較適合已有一定程度的學習者,且大部分都不是特別為準備考試而整理的,所以,同學還是要依各自程度,仔細挑選適合準備考試的教材才會事半功倍。
本科的考題配分,一定會有部分分數搭配在計算題上(即使是數學所的線性代數考題)。而同學都得有這樣的心態「大部份的計算題就是基本送分題」,一定得快速而正確的算出,並且把作答時間省下來對付證明題。因此,平常準備時,就要強化計算的速度與正確性。在臨場作答計算題時,同學要先思考是否有快速切入的方式,不要一昧埋頭蠻算。
例如,一樣是計算矩陣的高次方An,同學可以試著根據是否可對角化、是否容易計算特徵多項式、是否為旋轉矩陣或正交矩陣等多種不同角度切入。
除非只考中央資工所,否則同學一定要會證明題的作答。而準備證明題的方式,並不是狂背重要的大定理證明,細數過往曾經出現的證明題,其實大多是針對重要性質的應用延伸。建議同學先理解老師寫解答時的邏輯,覺得合理後,同學要能如老師的論證邏輯與書寫模式,不要自己太瀟灑、不要自己任意發明符號。
除了某些特定主題,線性代數的證明,很多時候都會有多種證明法,先仔細閱讀題目給的各種條件,才能比較能順勢完成推導。
同學在平常解題時,也不要太快看老師給的答案,最好等同學顯寫好或完全不知如何解答、找書也找不到了,再來參考比較老師所提供的解法,這才是正確的學習方法與態度。平常就有這樣的習慣,臨考時才會習慣去思考問題,而不會因為看到了沒看過的題型敘述就完全沒輒。
再者,先思考後再看答案,同學才能體會到為何老師解答要如此寫。當然,數學考題答案雖然唯一,但往往解法卻不只一種,經過質疑與比較,同學無形中也更了解各主題多種解讀法。
另外,而給考資工類系所同學們的建議:「不要以為數學所的線性代數證明題都是艱澀冷門的代名詞, 再往前幾年看就會發現,還是有非數學所的系所拿所謂的艱澀冷門題來考。」所以平常最好還是多看多想這些問題,最後將會發現這對自己的證明能力與觀念的理解都是一種提昇。
儘管年份、系所、出題者不同,教授們希望同學在這個科目上所具有的能力總是大同小異,故線性代數的命題重點仍大概有一定的軌跡。同學在練習考古題時,盡量以最近3~5年為主,先不要做太久的題目,因為部分系所的出題傾向已有劇烈變化。
例如,台大資工所的線性代數考題在102學年之後有了很大的變化,同學要特別著重在各單元第一小節的基本性質,而99年附近準備特定矩陣題型。相對的,統計所千年不敗的重點,依舊是正交對角化、正定矩陣與主軸定理;而想考數學所但不會做Jordan Form那今年就先不要去報名了。
另外,還要提醒同學的是,線性代數這科拿高分的訣竅並不在於非得征服每個考古題才肯罷休(能做到當然是最好),因為有的題目真的太細,把時間砸在這上頭,還不如多精讀、熟讀重點部分,並且花力氣去融會貫通各單元的相關性,比較能得到回饋。
下一段的各章節重點呈現了準備應考各系所時的通則。
除了近年中正資工所超愛考外積,還有另外有某幾題明顯是因應機器學習上的線性代數主題(政大資科、台科資工),下列表格大略整理了各系所在線性代數考科上的共同重點課題。
單元 | 重要度 | |||
---|---|---|---|---|
矩陣性質 | 資工所 | 統計所 | 數學所 | 電機、通訊所 |
基本性質 | ★★ | ★★★ | ★ | ★★★ |
求反矩陣 | ★★★ | ★★★ | ★★ | ★★★ |
行列式 | ★★★★★ | ★★★ | ★★ | ★★★ |
線性系統性質與解法 | ★★★★★ | ★★★ | ★★ | ★★★ |
向量空間 | 資工所 | 統計所 | 數學所 | 電機、通訊所 |
子空間判別 | ★★★ | ★ | ★★ | ★★ |
求基底與維度 | ★★★★★ | ★★★ | ★★★ | ★★ |
座標與轉換矩陣 | ★★ | ★★ | ★ | ★ |
rank | ★★★ | ★★★ | ★★★★★ | ★★ |
對角化 | 資工所 | 統計所 | 數學所 | 電機、通訊所 |
相似 | ★★★ | ★★ | ★★ | |
特徵根性質 | ★ | ★ | ★★★★★ | |
做對角化與應用 | ★ | ★ | ★★★★★ | |
喬丹型 | 資工所 | 統計所 | 數學所 | 電機、通訊所 |
原理 | ★ | |||
作法與應用 | ★★★ | ★★★ | ★★ | ★★★ |
極小多項式 | ★★★★★ | ★★★ | ★★ | ★★★ |
內積空間 | 資工所 | 統計所 | 數學所 | 電機、通訊所 |
基本性質 | ★ | ★ | ★★★★ | ★★ |
正交化過程與QR分解 | ★★★★★ | ★★★★★ | ★★★ | ★★★★★ |
求投影與應用 | ★★★★★ | ★★★★★ | ★★★★ | ★★★★ |
正交補空間 | ★★★★ | ★★★ | ★★★ | ★★★ |
內積算子 | 資工所 | 統計所 | 數學所 | 電機、通訊所 |
各算子性質 | ★ | |||
正交對角化與應用 | ★★★★ | ★★★ | ★★★ | ★★★ |
正定矩陣與分解 | ★★★ | ★★★★★ | ★★★★ | ★ |
主軸定理與應用 | ★★ | ★★★★ | ★ | ★ |
Householder矩陣 | ★★ | ★ | ★ | ★ |
奇異值分解 | ★★★★★ | ★★ | ★ | ★★ |
但是因為線性代數內容的前後連貫性,同學還是都要重頭念起,只是在特定系所比較少考的部分,僅需掌握基本定義與性質,並於重點單元多做練習即可。
1.Linear algebra Friedberg and Insel and Spence.
2.Applied linear algebra Nobel and Daniel.
3.Linear algebra with application Steven J. Leon.
4.Linear algebra Kenneth Hoffman.
5.Introduction to linear algebra (線性代數的世界) Gilbert Strang (李國偉譯)
上述可稱得上是線性代數裡的聖經版本,為多所學校的指定用書,講解清楚,範圍廣泛,又有許多的習題可供同學演練,也是多所學校考題來源之所在,可熟讀。但是不建議同學只針對單一本書狂讀,因為還是有部分內容根本沒在考試中出現過。
國立大學應用數學博士
全國著名補習班專任教師
補習班教授科目:離散數學、線性代數
林緯老師根據歷屆考題整理出重點題型,同學不會陷入鑽研冷門偏頗的題目,造成同學浪費時間又備受打擊。同時,解義題目編排也由淺入深,讓數學基礎不佳的同學也能快速切入、獲取高分。
線性代數內容環環相扣,同一題型往往有多種解法。林緯老師常常以最直觀,自然的角度切入解題,並提供多種的計算技巧給同學吸收,讓同學在淺移默化中成功建立正確的解題觀念與嚴謹的證明步驟。
各校的命題趨勢並非永遠一成不變。例如,政大資工108年出現主成分分析、中正資工107年考奇異值分解的1-近似,這些都是教授們在碩班帶學生做人工智慧相關研究時所需用到的工具。林緯老師會持續根據考題趨勢變化,提醒同學強調備考的準備重心。
開課最前面的重點與趨勢說明
第五章第二小節 特徵根與特徵向量 是必考重點
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