離散數學-雲端

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離散數學

準備方式

  1. 勤練重點題型:

    雖然離散數學的內容廣泛,但彙整各校多年份的考古題後仍可發現,總有某些常見題型是同學一定要掌握到的基本送分題。例如台大資工所在重複組合的相關計算題上101年到 108年總共出了60分;中央資工所則從100年到108年每年都至少1題的生成函數相關考題。

  2. 練習讀符號與敘述:

    除了嫻熟老師教材中所整理的例題與習題,同學們一定要能自己閱讀符號與定義,因為每年總是會有幾題,需由同學當場理解考題敘述,再自行解題。面臨這種從未見過的題目,同學需要在短時間理解題目敘述,再與常考題型產生連結,完成答題。例如107年度的政大資科所提到Complete m-partite graph的intendance number,其實就是完全雙分圖的一般化,然後討論其點獨立數。

  3. 勤練各種答題技巧:

    在計算題上,強化計算的速度與正確性,是最基本的要求,但對於常見的是非題,同學也要有簡要說明正確性、舉反例說明其不成立的能力。至於證明題,除非只考中央資工所,否則一定要會證明題的作答。而準備證明題的方式,建議同學先理解老師寫解答時的邏輯,覺得合理後,同學要能如老師的論證與書寫模式,不要太瀟灑、不要任意發明符號、也不要臨場自行發明新證法。對於常見的經典考題,其實很不容易有其他證法,還是背起來比較妥當。例如證明自然數的所有子集所成集合為不可數集(這題台大電機所、中央資工所與中正資工所都考過)。

  4. 熟練再熟練:

    因為各種單元的解題技巧本差異很大,很難舉一反三,往往同學唸到後面就會忘了前面的內容與解題技巧,所以同學務必要爭取時間,熟練本教材各主題。並且老師精心挑選的各校考題,都有特殊意涵,不要因為那不是你的鎖定學校就故意無視。例如108年度台科資工所考了代數進度裡子群個數的求算,而在95年度中山資工所與102年度台大資工所出現過類題。

考情分析

相較於100年度以前的考題,離散數學某些範圍的考題難易度有所改變,部分學校強調的重點也不再與過往相同。例如有限機與文法、代數這兩單元的題目,建議同學準備這裡時,不要拘泥於過分刁鑽且年份在100年前的題目。另外,絡與布林代數在一般學校的出現率也是明顯偏少。 除了共同偏重的重點單元(詳述於上一段落),各校出題重點也有明顯變化:

台大資工所,離散數學佔總分50分、題目不會很刁鑽,都是大部分教科書上會提到的主題。固定偏重在組合數學、生成函數、遞迴關係、圖論、樹、二元關係。明顯對重複組合、整數的無序分割有特別偏好,宜熟讀。從105年度後,就沒再出布林代數與代數的相關考題。

台大電機所,離散數學配分100分。100年起偏重證明題,圖論的證明、二項式定理的應用證明、遞迴式求解、完全算子集要特別加強。107年度還出了圖論演算法的問題。某幾個年份圖論考題明顯偏難,而因為圖論範圍與證明技巧相當多樣,不建議特別花太多時間挑戰圖論考古難題。

清大資工所,離散數學在基礎計算機科學中約佔30分上下,也會加進演算法的問題。除了組合數學(排列組合、遞迴、圖論與樹)幾乎每年必考外,對生成函數與遞迴求解有明顯偏好;另外,從101年度起就沒再出有限機的題目了。

交大資工所,與線性代數共計100分,通常有要求不要跳題作答。103、105、106、107年度的邏輯翻譯題明顯與時事進展有關(張益唐在相鄰質數對上的研究),建議同學多關心時事;數論、遞迴、圖論,二元關係等都要細讀,並多學習解題技巧;從100年度以後就沒再出過代數考題了。

成大資工所,與線性代數合計100分。排列組合與遞迴題目比重明顯增加,104與106年又加入代數問題。99~101年度年連續出現的車多項式(rook polynomial) 只是曇花三現,後來都沒再獲得配分。

中央資工所,與線性代數合計100分。自98年度起,都是考十題選擇題。題型有高重複性: 邏輯、函數的1-1、onto、遞迴、圖論、偏序、絡都是必備重點。但同學還是要了解解答的意義,不要只背誦答案。尤須注意的是要看習慣divide and conquer的演算法題目。

章節重點

雖然離散數學範圍相當廣泛,但從歷年各校資工所、電機所與工科所的離散數學考題,仍可歸納出一些值得特別花工夫的共同重點課題,是同學們需要精讀熟練的部分;而某些特定學校有偏好的部分、或比較少出題的部分,同學們可依個別狀況去拿捏該花多少時間在這些選讀的部份上,此詳述在下一段。

章節 單元 重要度
基礎數學 一、邏輯 ★★★
二、集合與排容原理 ★★★★
三、函數 ★★★★★
四、歸納法 ★★★★★
五、數論 ★★★
計數 一、排列組合 ★★★★★
二、生成函數 ★★★★
三、遞迴 ★★★★★
圖論 一、各定義、路徑、著色、平面圖 ★★★★★
二、樹 ★★★
關係 一、二元關係 ★★★★★
二、等價與偏序 ★★★★★
三、絡與布林代數
代數 一、群、環、體
代數應用 一、有限機與文法
二、波里亞計數、編解碼 ★★★

當然,還是要提醒同學的是,拿高分的訣竅並不在於非得征服每個考古題才肯罷休(能做到當然是最好),因為有的題目真的離題太遠,太細,把時間砸在這上頭,還不如多準備該精讀、熟讀的部分比較能得到回饋。也就是說,要先懂這個主題在講什麼,熟練基本題型,再熟練考古題。如此一來,當考出熟悉的題目時,就可把握住該拿的分數;而在思考未見過的題型時,也才有個思考的方向可依循。

參考用書

1. Discrete and combinatorial mathematics      Ralph P.Grimaldi.

2. Elements of Discrete Mathematics                Chung Laung Liu.

3. Discrete Mathematics and Its Applications    Kenneth H. Rosen.

這三本教科書可稱得上是離散數學裡的聖經版本,是多所學校的指定用書,講解清楚,範圍廣泛,又有許多的習題可供同學演練,而更重要的,它們是多所學校考題來源之所在,可熟讀。但是不建議同學只針對單一本書狂讀,因為還是有部分內容根本沒在考試中出現過。

教學特色

教材整理完備

林緯老師根據歷屆考題整理出重點題型,同學不會陷入鑽研冷門偏頗的題目-造成同學浪費時間又備受打擊;同時,解義題目編排也由淺入深,讓數學基礎不佳的同學也能快速切入、獲取高分。

解題淺顯易懂

離散數學內容廣泛,各種題目思考與解題方式往往南轅北轍,林緯老師用淺顯合理的方式引導同學思考,也讓同學在淺移默化中成功建立正確的解題觀念與嚴謹的證明步驟。

掌握各校趨勢

各校的命題趨勢並非永遠一成不變。例如,交大資工所這幾年的考題,明顯在邏輯範圍有加重,同時還搭配時事,將數論上連續質數對的研究進展以邏輯敘述的方式加入考題。林緯老師會持續根據考題趨勢變化,提醒同學強調備考的準備重心。

教學用書

林緯,<離散數學-含歷屆經典試題解析>,大碩教育出版

推薦試聽

■  開課最前面的重點與趨勢說明

■  第四章第一小節歸納法是必考重點

■  第十一章第一小節二元關係是同學自己不易念通的重點單元

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